Équations en congruences - Exemples

1. On veut résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l'équation \(x+3 \equiv 2 \ [7]\) .
On procède comme dans \(\mathbb{R}\) car \(x\) peut être facilement isolé :
\(\begin{align*}x+3 \equiv 2 \ [7]& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=-1 \ [7]\end{align*}\)  
donc \(S= \left\lbrace 7k-1 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .

2. On veut résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l'équation \(3x \equiv 2 \ [5]\) .
On n'a pas le droit de diviser la congruence par \(3\) , il faut donc trouver une autre méthode que la méthode « réelle» .

• Méthode 1
  On utilise un tableau de congruences modulo \(5\) .
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [5]& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline3x \equiv ... \ [5]& 0& 3& 1& 4& 2\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  
  donc les solutions de l'équation \(3x \equiv 2 \ [5]\) sont données par \(S=\left\lbrace 5k+4 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
  
• Méthode 2 (plus rapide mais ne fonctionne pas toujours)
  On remarque que \(2 \times 3 \equiv 6 \equiv 1 \ [5]\) , donc :
  \(\begin{align*}3x \equiv 2 \ [5]\ \ \Longrightarrow \ \ 6x \equiv 4 \ [5]\ \ \Longrightarrow \ \ x \equiv 4 \ [5].\end{align*}\)  
  Réciproquement, si \(x \equiv 4 \ [5]\) , alors \(3x \equiv 12 \equiv 2 \ [5]\) .
  Finalement : \(S=\left\lbrace 5k+4 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
  

3. On veut résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l'équation \(2x-1 \equiv 4 \ [6]\) .
On a :  \(\begin{align*}2x-1 \equiv 4 \ [6]\ \ \Longleftrightarrow \ \ 2x \equiv 5 \ [6].\end{align*}\)  
On utilise un tableau de congruences.
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x \equiv ... \ [6]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline2x \equiv ... \ [6]& 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  
donc \(S=\varnothing\) .

On constate au passage que la seconde méthode vue auparavant ne peut pas être utilisée ici, car \(2x\) n'est congru à \(1\)  pour aucune valeur de \(x\) modulo  \(6\)  .